Etude semi-classique d'une perturbation d'un opérateur de Schrödinger périodique: cas d'un nombre fini de perturbations

Article type: Research Article

Authors: Klopp, Frédéric

Affiliations: Département de Mathématique, Bât. 425, U.R.A 760 C.N.R.S, Université de Paris-Sud, Centre d'Orsay, F-91405 Orsay cedex, France, E-mail: frederic.klopp@math.u-psud.fr

Abstract: Sous l'hypothèse V périodique, on étudie dans le cadre de la limite semi-classique (h→0), le spectre de l'opérateur Pt=−h2Δ+V+tδV agissant sur L2(Rn), où t est une constante de couplage positive et δV est une fonction localisée au voisinage de m puits distincts de V. Pour ce faire, on ramène par équivalence unitaire l'étude de l'opérateur Pt à celle d'un noyau de Birman–Schwinger. Cette réduction nous permet alors de montrer l'existence de valeurs propres pour Pt quand |t| n'est pas trop petit (ceci dépendant de la dimension n). Puis on étudie le comportement de ces valeurs propres en fonction de |t| et de la localisation des m puits de V que l'on a perturbé. Assuming V is periodic, we study the spectrum of the operator Pt=−h2Δ+V+tδV acting on L2(Rn) where t is a positive coupling constant and δV is a function with support localized near m distinct wells of V. This study is done in the semiclassical limit h→0. We first show that Pt restricted to some convenient energy interval is unitarily equivalent to an operator that one may study using a Birman–Schwinger kernel. Using this reduction, we show the existence of eigenvalues for Pt when |t| is not too small (depending on n), and we study the behaviour of these eigenvalues with respect to |t| and to the localization of the m perturbed wells of V.

Keywords: Opérateurs de Schrödinger, limite semi-classique, potentiels périodiques, localisation de fonctions propres

DOI: 10.3233/ASY-1997-15104

Journal: Asymptotic Analysis, vol. 15, no. 1, pp. 55-102, 1997